Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 22

22

Bowling 2.    Consideriamo inizialmente la piramide minimale fatta da 4 sfere e chiamiamo $R$ il raggio di ogni sfera. Poiché le 4 sfere si toccano vicendevolmente in un punto, i centri distano esattamente $2R$ l'uno dall'altro, e dunque stanno sui vertici di un tetraedro regolare di spigolo $2R$. L'altezza di tale tetraedro si può calcolare in questo modo: essa cade nel centro del triangolo equilatero che sta alla base, e dunque è il cateto di un triangolo rettangolo di ipotenusa $2R$ e l'altro cateto dato dalla distanza del centro della base da un suo vertice, ovvero $2\sqrt{3}R/3$. Si ha quindi

$$h=\sqrt{4R^2-\frac{4}{3}R^2}=R\sqrt{\frac{8}{3} }=\frac 2 3 R\sqrt{6}\,.$$

Nella piramide di $25$ strati del quesito, la distanza verticale del centro delle sfere dello strato più basso dal centro della sfera più in alto è dunque $24 h= 16R\sqrt{6}$. A questa va aggiunto $2$ volte $R$, ovvero la distanza dei centri delle sfere degli strati estremi da terra e dalla sommità della piramide. In tutto si ottiene

$$16R\sqrt{6}+2\,R=41,192\,R\,.$$

Poichè $R$ misura $100$ mm, troncando al numero intero la risposta corretta è .