Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 24

24.

Consigli per gli acquisti.    Innanzitutto ci riconduciamo a un problema piano, sezionando col piano orizzontale che passa per gli occhi di Michela, e facciamo un disegno.

Poi vediamo il problema dal punto di vista dell'esagono: esso vede Michela percorrere una circonferenza di raggio $R$ , centrata nel centro dell'esagono, a velocità costante. Bisogna determinare $R$ affinché per metà della circonferenza si vedano 2 lati dell'esagono e per l'altra metà se ne vedano 3.

Prolungando due lati opposti dell'esagono incontriamo la circonferenza su cui sta Michela in due punti $A$ e $B$ . Quando si trova all'interno dell'arco $AB$ , Michela vedrà esattamente 2 lati dell'esagono, mentre quando si trova all'interno dell'arco $BC$ ne vedrà 3. Poiché di archi di tipo $AB$ ce ne sono 6 sulla circonferenza, e in tutto vogliamo che questi coprano metà circonferenza, ognuno deve formare un angolo al centro $\phantom{,}\!\widehat{AOB}$ di $\pi/6$ (ovvero $30^\circ$ ). Quindi l'angolo $\phantom{,}\!\widehat{OAH}$ , che è metà di $\phantom{,}\!\widehat{AOB}$ , deve valere $\pi/12$ . Poiché il triangolo $AOH$ è rettangolo in $H$ , si può determinare $OA$ (che poi è $R$ ):

$$R=\overline{OA}=\frac{\overline{HO}}{\sin(\pi/12)} .$$

Il cateto $HO$ è l'apotema dell'esagono e dunque vale $\sqrt{3}/2$ , mentre con le formule di bisezione si può esprimere

$$\sin(\pi/12)=\sqrt{\frac{1-\cos^2(\pi/6)}{2}}= \frac{1}{2}\sqrt{... ...eft(\sqrt{\frac 3 2}-\sqrt{\frac 1 2}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} .$$

Dunque si ha

$$R=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} .$$

Sostituendo i valori tabulati $\sqrt{2}=1,4142$ e $\sqrt{6}=2,4495$ si ottiene $R=3,34605$ metri che, convertito in centimetri e troncato, dà la risposta .