Brescia, 25 novembre 2005

Allenamenti di matematica: algebra

1. Siano $a,b,c$ tre numeri reali distinti e sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti reali. Sapendo che:
   1. $P(x)$ diviso per $(x-a)$ dà resto $a$;
   2. $P(x)$ diviso per $(x-b)$ dà resto $b$;
   3. $P(x)$ diviso per $(x-c)$ dà resto $c$,
   determinare il polinomio che si ottiene come resto della divisione di $P(x)$ per $(x-a)(x-b)(x-c)$.

2. Quale delle seguenti disequazioni ha come soluzione l'insieme disegnato in figura?

   (a)

   $x^6+y^6\leq 64$

   (b)

   $\vert 2x\vert+\vert y\vert\leq 4$

   (c)

   $\vert x+y\vert+\vert x-y\vert\leq 4$

   (d)

   $\vert y\vert+\vert x+1\vert+\vert x-1\vert\leq 4$

   (e)

   $\vert x\vert+\vert\vert 2y\vert-\vert x\vert\vert\leq 4$

   Figura 1: Esagono regolare

   

3. Sulla lavagna è scritto inizialmente il numero $1$. Successivamente, dieci studenti a turno cancellano il numero che trovano sulla lavagna e lo sostituiscono con il suo doppio aumentato di $1$. Qual è il numero che resta sulla lavagna alla fine?

   (a)

   $31$

   (b)

   $2^{11}+1$

   (c)

   $2^{11}-1$

   (d)

   $3^{10}$

   (e)

   $2005$.

4. Siano $a_1,a_2,\ldots a_n$ degli interi distinti. Dimostrare che il polinomio
   
   $$P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)-1$$
   
   
   è irriducibile, cioè non è il prodotto di due polinomi a coefficienti interi di grado minore.

5. Siano $a,b,c$ tre numeri reali tali che $a+b+c=0$ e $a^2+b^2+c^2=1$. Qual è il valore di $a^4+b^4+c^4$?

   (a)

   $\frac{1}{3}$

   (b)

   $\frac{1}{2}$

   (c)

   $2$

   (d)

   $3$

   (e)

   le due equazioni non sono sufficienti a determinare il valore di $a^4+b^4+c^4$.

6. Massimo sa che camminando impiega $24$ minuti per andare da casa sua alla stazione, mentre correndo ne impiega $12$. Dovendo prendere un treno alle $12\colon30$, parte da casa per tempo alle $12$ (camminando). Durante il tragitto però si accorge di aver dimenticato il portafoglio. Immediatamente torna a casa di corsa, e poi corre in stazione, dove arriva puntuale alle $12\colon30$. A che ora si è reso conto di aver dimenticato il portafoglio?

   (a)

   $12\colon06$

   (b)

   $12\colon09$

   (c)

   $12\colon12$

   (d)

   $12\colon15$

   (e)

   i dati sono insufficienti.

7. Determinare se il seguente enunciato è vero o falso:
   ``Per ogni successione $x_1,x_2,x_3,\ldots$ di numeri reali maggiori o uguali a zero esistono due successioni $a_1,a_2,a_3,\ldots$ e $b_1,b_2,b_3,\ldots$ di numeri reali maggiori o uguali a zero tali che
   • $x_n=a_n+b_n$ per ogni $n$;
   • $a_1+\ldots+a_n\leq n$ per infiniti valori di $n$;
   • $b_1+\ldots+b_n\leq n$ per infiniti valori di $n$, eventualmente diversi dai precedenti.''

8. Ad una festa l'età media è $31$ anni, l'età media degli uomini è $35$ anni e l'età media delle donne è $25$ anni. Qual è il rapporto fra il numero degli uomini e quello delle donne?

   (a)

   $\frac{5}{7}$

   (b)

   $\frac{7}{5}$

   (c)

   $\frac{4}{3}$

   (d)

   $\frac{3}{2}$

   (e)

   $2$.

9. $D$ è il dominio del piano cartesiano costituito dai punti $(x,y)$ tali che
   
   $$\vert x\vert+\vert y\vert+\vert x+y\vert+\vert x-y\vert\leq 3.$$
   
   
   La forma del dominio $D$ è
   

10. Sia $x$ un numero reale. Quale delle seguenti affermazioni non è equivalente alla disequazione:
    
    $$\vert 2x-3\vert>5?$$
    
    

    (a)

    $\vert 6-4x\vert>10$

    (b)

    $\sqrt{4x^2-12x+9}>25$

    (c)

    $\vert 10x-15\vert>25$

    (d)

    $x<-1$ oppure $x>4$

    (e)

    ${(2x-3)}^2>5(2x-3)$.

11. Per ottenere la tesi ``$x$ è razionale'' quale ipotesi assumereste?

    (a)

    $x+x^2$ è razionale

    (b)

    $x^7$ e $x^{14}$ sono razionali

    (c)

    $x+\pi$ e $x-\pi$ sono irrazionali

    (d)

    $x\sqrt{2}$ e $\frac{x}{sqrt(2)}$ sono irrazionali

    (e)

    $x^{12}$ e $x^7$ sono razionali.

12. Dire quale dei seguenti sistemi di disequazioni equivale a
    
    $$\left\{\begin{array}{l} \vert x\vert<1 \ Vert y\vert<1 \\ \end{array}\right.$$
    
    

    (a)

    $\left\{\begin{array}{l} \vert x+y\vert<2 \ Vert x-y\vert<2\\ \end{array}\right.$

    (b)

    $\vert x+y\vert+ \vert x-y\vert<2\$

    (c)

    $\left\{\begin{array}{l} \vert x\vert+\vert y\vert<2 \ Vert xy\vert<1\\ \end{array}\right.$

    (d)

    $\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2<2 \ Vert x^2-y^2\vert<1\\ \end{array}\right.$

    (e)

    $\vert x\vert+\vert y\vert>x^2+y^2$

13. In quanti modi si possono sistemare i numeri $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ su una scacchiera $3$x$3$ in modo tale che la somma dei numeri su ogni riga, su ogni colonna e sulle diagonali sia sempre uguale a $15$?

14. Edoardo è andato in vacanza nella città di Altanbulat. Il suo aereo, all'andata, è partito da Milano alle $13\colon00$ ed è arrivato ad Altanbulat alle $9\colon00$ del giorno dopo (ora locale). Il volo di ritorno invece è partito da Altanbulat alle $9\colon00$ ed è atterrato alle $15\colon00$ dello stesso giorno a Milano (di nuovo, tutte le ore indicate sono secondo il fuso orario locale). Supponendo che i due viaggi abbiano avuto la stessa durata reale, quant'`e la differenza di fuso orario tra l'Italia e Altanbulat?

    (a)

    Meno di tre ore

    (b)

    più di tre ore, ma meno di sei

    (c)

    più di sei ore, ma meno di nove

    (d)

    più di nove ore

    (e)

    non è possibile determinarla.

15. Quanti sono i polinomi $p(x)$ di secondo grado, a coefficienti interi e con due radici intere, tali che $p(8)=1$? (Nota: ricordiamo che i numeri interi possono essere positivi, negativi o nulli)

    (a)

    $1$

    (b)

    $2$

    (c)

    $3$

    (d)

    un numero finito maoggiore di $3$

    (e)

    infiniti.

16. Al variare del parametro reale $a$, qual è il numero massimo di soluzioni per l'equazione $\vert\vert x-1\vert-4\vert+x=a$?

    (a)

    $1$

    (b)

    $2$

    (c)

    $3$

    (d)

    $4$

    (e)

    può averne infinite.

17. Uno storico della città si è accorto che il deficit del bilancio segue alcune regole curiose. Infatti, se chiamiamo $f(n)$ il deficit dell'anno $n$ dalla fondazione della città, allora $f(1)=1$ e, per tutti i numeri naturali $n$, $f(2n)=2f(n)+1$. Quanto è stato il deficit nell'anno $1024$-esimo dalla fondazione della città?

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