Brescia, 3-4 febbraio 2006

Allenamenti di Matematica

Geometria

1. Il trapezio rettangolo $ABCD$ contiene una circonferenza di raggio $1$ metro, tangente a tutti i suoi lati. Sapendo che il lato obliquo $BC$ è lungo $7$ metri, trovare l'area del trapezio.
   

   
   

   (A) $8 m^2$
   (B) $9 m^2$
   (C) $10 m^2$
   (D) $11 m^2$
   (E) Non si può ricavare dai dati del problema

   

2. Quanto è lunga la corda $AB$, sapendo che $AB=2CD$ e che i raggi dei due cerchi concentrici sono $5$ metri e $4$ metri?
   

   
   

   (A) $2\sqrt{2}m$
   (B) $2\sqrt{3}m$
   (C) $3\sqrt{3}m$
   (D) $4\sqrt{3}m$
   (E) Dipende dall'inclinazione della corda

   

3. Siano $A,B,C$ tre punti su una circonferenza di centro $O$. Sia $D$ un punto esterno alla circonferenza situato sulla retta $AB$ dalla parte di $B$. Sapendo che $\widehat{CBD}=72^o$, quanto misura l'angolo $\widehat{AOC}$?
   

   
   

   (A) $135°$
   (B) $144°$
   (C) $153°$
   (D) $162°$
   (E) $171°$

   

4. Sia data nel piano una circonferenza di raggio $3$. Consideriamo tutti i punti $P$ del piano tali che la circonferenza di centro $P$ e raggio $2$ interseca in almeno un punto la circonferenza data.
   Questi punti formano:
   

   
   

   (A) la circonferenza data
   (B) una circonferenza più grande di quella data
   (C) un cerchio
   (D) una corona circolare
   (E) l'unione di due circonferenze concentriche

5. Dato un foglio rettangolare di lati $a$ e $b$ con $a>b$, determinare l'area del triangolo che risulta dalla sovrapposizione dei due lembi che si ottengono piegando il foglio lungo una diagonale (il triangolo colorato in grigio nella figura).
   

6. Sia $P$ un punto interno a un triangolo $ABC$. Le rette $AP$, $BP$ e $CP$ intersecano i lati di $ABC$ in $A'$, $B'$ e $C'$ rispettivamente. Ponendo $x=\frac{AP}{PA'}$, $y=\frac{BP}{PB'}$ e $z=\frac{CP}{PC'}$, dimostrare che $xyz=x+y+z+2$.

7. Dato un triangolo $ABC$ si tracci un segmento $A_1B_1$ che abbia un vertice sul lato $AC$ e l'altro su $BC$ e sia parallelo ad $AB$. Sapendo che $AA_1=1/5AC$, che $BB_1=1/5BC$ e che l'area del quadrilatero $ABB_1A_1$ è $45\;cm^2$, trovare l'area del triangolo $ABC$.
   

   
   

   (A) $175\;cm^2$
   (B) $135\;cm^2$
   (C) $130\;cm^2$
   (D) $125\;cm^2$
   (E) $100\;cm^2$.

8. Dato un quadrato $ABCD$ di lato $l$ siano $M$ ed $N$ i punti medi di $BC$ e $CD$. Si determini l'area della parte comune ai triangoli $ABM$ e $BNC$.
   

   
   

   (A) $1/20\,l^2$
   (B) $\sqrt{5}/42\,l^2$
   (C) $\sqrt{3}/32\,l^2$
   (D) $1/16\,l^2$
   (E) $1/10\,l^2$.

9. Si consideri un poligono intrecciato di cinque lati disposti a formare una stella a cinque punte. La somma degli angoli interni alle cinque punte è:
   

   
   

   (A) $90°$
   (B) $180°$
   (C) $360°$
   (D) $150°$
   (E) $210°$.

   

10. Nella figura il punto $C$ è interno al raggio $OB$ di una semicirconferenza di centro $O$ e il segmento $CD$ è perpendicolare al diametro $AB$. Una circonferenza di centro $P$ è inscritta come mostrato e risulta tangente all'arco $BD$ in $F$, al segmento $CD$ in $E$ e al diametro $AB$ in $G$. Dimostrare che il triangolo $ADG$ è isoscele.

    

11. Si considerino tre circonferenze di raggio $1$ i cui centri siano in corrispondenza dei vertici di un triangolo equilatero il cui lato è lungo $1$. Qual è l'area della superficie comune a tutti e tre i cerchi?
    

    
    

    (A) $(\pi-\sqrt{3})/2$
    (B) $\pi/6$
    (C) $\pi/4$
    (D) $\sqrt{3}\pi/3$
    (E) $\sqrt{3}/4$.

12. In un trapezio $ABCD$ sia $E$ il punto di incontro delle diagonali. Sapendo che l'area dei triangoli $DEC$, $ABE$ è rispettivamente $x$, $y$, trovare l'area del trapezio.
    

    
    

    (A) $x+y+2\sqrt{xy}$
    (B) $2(x+y)$
    (C) $2\sqrt{x^2+y^2}$
    (D) $x+y+2\sqrt{x+y}$
    (E) i dati non permettono di determinare l'area.

13. Dato un triangolo $ABC$, presi due punti $A'$, $B'$ sui lati $BC$ e $AC$, sia $K$ l'intersezione di $AA'$ e $BB'$. Una e una sola delle seguenti condizioni equivale a richiedere che $K$ stia sulla mediana uscente dal vertice $C$. Qual è?
    

    
    

    (A) $A'B'$ parallelo ad $AB$
    (B) $AA'$ e $BB'$ bisecano gli angoli in $A$ e in $B$
    (C) $A'K=B'K$
    (D) $A'$ e $B'$ sono i punti medi di $BC$ e $AC$
    (E) $BA'=AB'$.

14. Una cinghia è tesa tra due pulegge circolari di raggi rispettivamente 1 e 6 e con i centri che distano $d$. Quanto è lunga la cinghia, se $d=5\sqrt{2}$?
    

    
    

    (A) $10+7\pi$

    (B) $24\sqrt{2}$

    (C) $10\sqrt{2}+7\pi$

    (D) $10+19\pi/2$

    (E) $14\pi$.

    

15. Se $P$ è un punto interno ad un triangolo acutangolo $ABC$ tale che i tre triangoli $APB$, $APC$, $BPC$ hanno la stessa area, allora il punto $P$ coincide con:
    

    
    

    (A) il Baricentro
    (B) l'Ortocentro
    (C) l'Incentro
    (D) il Circocentro
    (E) nessuno dei precedenti.

16. Determinare tutti i triangoli rettangoli con i lati in progressione aritmetica.

17. Dato un triangolo acutangolo $ABC$ siano $U$, $V$ i piedi delle altezze uscenti dai vertici $A$ e $B$. Dimostrare che l'asse di $UV$ passa per il punto medio di $AB$.

18. Una statua in bronzo, piena e alta 60 cm, viene fusa e dal metallo ottenuto si ricavano delle copie in scala, ciascuna alta 10 cm. Quante copie si possono ottenere?
    

    
    

    (A) $6$
    (B) $36$
    (C) $60$
    (D) $216$
    (E) $256$.

19. Si consideri una piramide retta avente come base un esagono regolare di lato 1 e si conduca un piano passante per il centro della base e parallelo a una delle facce laterali della piramide. Tale piano interseca la piramide lungo un quadrilatero. Il rapporto fra l'area di tale quadrilatero e l'area di una delle facce laterali è:
    

    
    

    (A) $1/2$
    (B) $1$
    (C) $5/4$
    (D) $\sqrt{3}$
    (E) dipende dall'altezza della piramide.

20. È possibile costruire un parallelepipedo che misura $72\times 94\times 300$ cm utilizzando mattonelle di $2\times 5\times 10$ cm?

21. Un esagono equiangolo ha quattro lati consecutivi lunghi nell'ordine 5,3,6 e 7. Determinare le lunghezze degli altri due lati.

22. Una cassetta di legno, senza coperchio, è fabbricata con tavole spesse 2 cm. Se le dimensioni esterne della base (rettangolare) sono 38 cm e 44 cm e l'altezza esterna è 47 cm, di quanti centimetri cubi è il volume interno della cassetta?
    

    
    

    (A) $61200\;cm^3$
    (B) $63920\;cm^3$
    (C) $68040\;cm^3$
    (D) $75240\;cm^3$
    (E) $78584\;cm^3$.

23. Sia dato un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 21 e 28 cm e un semicerchio in esso inscritto avente il diametro sull'ipotenusa. Quanto misura l'area del semicerchio?
    

    
    

    (A) $50\pi\;cm^2$
    (B) $\frac{441}{8}\pi\;cm^2$
    (C) $98\pi\;cm^2$
    (D) $72\pi\;cm^2$
    (E) $\frac{121}{2}\pi\;cm^2$.

24. Nel quadrato $ABCD$ di lato 1 tracciamo la diagonale $BD$ e il segmento $CM$, dove $M$ è il punto medio di $DA$. Chiamiamo $P$ il punto d'intersezione di $BD$ e $CM$. Qual è l'area del triangolo $DMP$?
    

    
    

    (A) $1/8$
    (B) $1/10$
    (C) $1/12$
    (D) $1/16$
    (E) nessuna delle precedenti.

25. In un triangolo $ABC$ si tracciano le bisettrici da $B$ e da $C$ che incontrano rispettivamente i lati $AC$ e $AB$ in $D$ ed $E$. Detto $I$ il punto di incontro delle bisettrici, si sa che il quadrilatero $IDAE$ è inscrivibile in una circonferenza. Allora l'angolo in $A$ vale
    

    
    

    (A) $30°$
    (B) $45°$
    (C) $60°$
    (D) $90°$
    (E) non si può determinare in modo univoco.

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latex2html -split 0 -no_antialias_text Geometria.tex

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