Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 17

17.

L'isola dei disonesti.     Indichiamo con $N_i$ , $i = 0,1,2,3,4,5$ il numero di noci di cocco durante la notte. $N_0$ è il numero iniziale (richiesto dal quesito), $N_1$ è il numero di noci dopo la prima sottrazione, ..., $N_5$ sono le noci di cocco che al mattino vengono spartite tra i 5 disonesti.

Costruiamo una formuletta che leghi tra loro i valori successivi di $N_i$ :

$$N_{i-1} = 1 + \frac{5}{4} N_i .$$

Iterando una volta e ponendo per brevità $\alpha = \frac{5}{4}$ si ottiene $N_3 = 1 + \alpha ( 1 + \alpha N_5 ) = 1 + \alpha + \alpha^2 N_5$ e procedendo iterativamente si ricava quindi $N_0 = 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 N_5$ . Usando la nota formula per la somma delle potenze successive di un numero (che si può rapidamente dimostrare per induzione) abbiamo

$$N_0 = \frac{\alpha^5 - 1}{\alpha - 1} + \alpha^5 N_5 .$$

Ora sostituiamo il valore di $\phantom{,}\! \alpha$ e moltiplichiamo ambo i membri per $4^5$ in modo da eliminare tutti i denominatori, si ha (osservando che $\frac{1}{\alpha - 1} = 4$ )

$$4^5 N_0 = 4 \cdot 5^5 - 4^6 + 5^5 N_5$$

da cui, ricordando che $N_5 = 5\delta$ ,

$$4^5 (N_0 + 4) = 5^5 (5\delta + 4)$$

e quindi $5\delta + 4$ deve essere multiplo di $4^5$ : $5\delta = k 4^5 - 4$ . Chiaramente $\phantom{,}\! k$ non può essere minore di 1, d'altra parte $\phantom{,}\! k=1$ fornisce $5\delta = 4^5 - 4$ che è effettivamente un multiplo di 5; non volendo fare questa verifica a mano si può utilizzare ancora una volta il piccolo teorema di Fermat: $4^5 \equiv 4$    mod $\phantom{,}\! 5$ .

Provando quindi a sostituire $\phantom{,}\! k=1$ si ottiene $5\delta + 4 = 4^5$ e quindi

$$N_0 = 5^5 - 4 = 3121 .$$

La risposta è dunque .