Disfida Matematica 2006

Soluzione del problema 18

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I Giochi dell'Otto.     Ci si può mettere con pazienza ad elencare tutte le edizioni a partire dalla prima nell'anno 8 D.C. Un modo più rapido per procedere consiste nell'utilizzare una formula per calcolare tutti i modi con cui si può scrivere un numero naturale $n$ non negativo come somma di $s$ numeri naturali non negativi distinguendo anche le somme in cui cambia l'ordine degli addendi (cioè la decomposizione $8 = 3 + 5$ (edizione dell'anno 35) deve essere considera diversa dalla decomposizione $8 = 5 + 3$ (edizione dell'anno 53). Questa formula può essere ottenuta osservando che se abbiamo una sequenza di $n+s-1$ caselle, e anneriamo un sottoinsieme di $s-1$ caselle, si formano $s$ gruppi di caselle bianche consecutive formati da 0 o più caselle e separati da una singola casella nera. Il numero di tali decomposizioni è dunque il numero di sottoinsiemi di $s-1$ elementi in un insieme di $n+s-1$ elementi cioè il coefficiente binomiale $\left({{n+s-1}\atop {s-1}}\right) = \frac{(n+s-1)!}{n!(s-1)!}$. Scegliendo $n=8$ e $s=3$ si ottiene il numero di edizioni che si sono tenute in anni di al più $3$ cifre, ovvero $\frac{10!}{8!2!} = 45$; negli anni compresi tra il 1000 e il 1999 le ultime tre cifre devono avere somma $7$ anziché $8$, e quindi si hanno $\frac{9!}{7!2!} = 36$ edizioni per un totale di $81$ edizioni precedenti al $2000$. Mancano dunque all'appello $7$ edizioni successive al $2000$, che possiamo enumerare: 2006, 2015, 2024, 2033, 2042, 2051, 2060. La risposta è .