Disfida Matematica 2007

Soluzioni dei problemi 6 - 10

6.

Finanziamenti occulti.    Intanto osserviamo che il numero di calzini per ogni colore è pari, quindi se si esaurisce un colore non ne rimangono di spaiati. Poi, è necessario prendere almeno 4014 calzini, per averne un paio a testa. Inoltre, poiché i colori sono 6, il caso peggiore è che ``avanzino'' 6 calzini spaiati, ovvero ne manchino 3 paia. Se ne prendo ancora 5 sono certo di farne almeno altre 3 paia, che sono quelle che mancavano. Se invece ne avessi presi ancora 4, avrebbero potuto essere due di un colore e due di un altro, ovvero due paia già complete, e ne sarebbe mancato ancora un paio. Quindi la risposta è .

7.

Exit polls.    Denotando con $x$ il numero degli elettori che ha effettivamente votato ``Sì'', si ha ovviamente che il numero di quelli che hanno dichiarato di aver votato ``Sì'' è dato da $x/10$ più $9(10000-x)/10$ , dove chiaramente $10000-x$ è il numero degli elettori che hanno votato ``No''. Quindi

$$3600=\frac{x}{10}+\frac{9(10000-x)}{10}=\frac{90000-8x}{10}\,,$$

da cui $8x=90000-36000=54000$ . La risposta è quindi $x=$ .

8.

Tagli alla spesa.     L'equazione (logaritmica) che caratterizza $S$ è

$$\log_{2010}\log_{2009}\log_{2008}\log_{2007} S = 2\,.$$

La soluzione è della forma $S=2007^c$ , per cui il più grande fattore primo di $S$ è più semplicemente il più grande fattore primo di 2007. Una semplice scomposizione in fattori dà la risposta .

9.

L'aiuola bipartisan.     Facciamo una figura tanto per chiarirci le idee.

Chiamiamo $x$ un angolo formato dalle due rette. Poiché l'area del settore circolare di raggio $R$ e angolo (in gradi sessagesimali) $x$ è $xR^2\frac{\pi}{360}$ , si ha l'equazione

$$\begin{multline*} \left[2x(1^2) + 2(180-x)(2^2-1^2) + 2x(3^2-2^2)\right]\frac{\p... ...(1^2) + 2x(2^2-1^2) + 2(180-x)(3^2-2^2)\right]\frac{\pi}{360}\,, \end{multline*}$$

da cui segue $3x=12(180-x)$ , ovvero $x=144$ . L'altro angolo misura quindi $(180-144)=36$ gradi. La risposta è .

10.

Panem et circenses.    Cerchiamo intanto gli anni giusti tra il 1900 e il 1999. Poiché la somma delle cifre di tali anni è al massimo 28 (per il 1999) e la somma delle cifre delle cifre è al massimo 10 (per 28 appunto, o anche per 19), la somma totale da aggiungere all'anno è al massimo 38, quindi si può partire almeno dall'anno $2007-38=1969$ . Inoltre osserviamo che ogni volta che si incrementa di un anno può succedere che incrementi di tre il risultato finale, oppure diminuisca di 6 o di 15 (quando si salta alla decina successiva, la somma delle cifre cala di 8). Quindi, poiché 2007 è multiplo di 3, dobbiamo partire con un multiplo di 3. Il primo è 1971, che dà 1998, dunque a 1974 che dà 1998, dunque a 1977 che dà 2007. Abbiamo trovato il primo. Continuiamo con 1980, che dà ancora 2007. Ecco il secondo. Arriviamo a 1983, che dà ancora 2007. Ecco il terzo. L'anno 1986 dà invece 2016 ($+9$ ), e sono sbagliati anche il 1989, 1992, 1995, 1998. Il 2001 è ancora giusto, e poi basta. Risultano quindi quattro anni: 1977, 1980, 1983, 2001, la cui somma è .