Disfida Matematica 2007

Soluzioni dei problemi 11 - 13

11.

Confluenze.     Tracciamo una figura del rettangolo iniziale e del quadrato risultante:

Affinché dopo lo spostamento i pezzi si ``incollino'' bene, deve essere $AE=FG=HC$ e $EF=GH$ , dunque $AE$ deve essere un terzo della base e $EF$ metà dell'altezza. Inoltre, per ottenere un quadrato, si dovrà avere $EB=EF+AD$ , dunque

$$\frac{2}{3}AB=\frac{3}{2}AD\,,$$   ovvero$$\qquad AB = \frac 9 4 AD\,.$$

Dunque il perimetro del rettangolo è

$$2\left(AD+\frac 9 4 AD\right)=\frac{13}{2}AD=7020\,,$$

ovvero $AD=540\cdot 2 = 1080$ . Il lato del quadrato risulta $\frac 3 2 AD$ e dunque il perimetro è $4\cdot \frac 3 2 AD = 6AD = \fbox{6480}$ .

12.

E il barcarolo va ...    Questo è un problema con dati ridondanti. L'unica cosa che serve sapere è il tempo intercorso tra la caduta del cappellino e la virata, visto che la velocità relativa rispetto all'acqua è sempre la stessa. Se infatti ci mettiamo in un sistema di riferimento solidale al cappellino, vediamo la barca allontanarsi per mezz'ora e poi tornare indietro, sempre alla stessa velocità. Per cui il tempo totale è di un'ora. La risposta è .

13.

La voragine.     Facciamo un po' di conti con le potenze:

$$25^{3007}\cdot 8^{2007} = 5^{6014}\cdot 2^{6021} = 5^{6014}\cdot 2^{6014} \cdot 2^{7} = 128\cdot 10^{6014}\,.$$

Il numero 128 seguito da 6014 zeri ha esattamente 6017 cifre. La risposta è .