Disfida Matematica 2007

Soluzione del problema 19

19.

Ritorno al passato.    Proviamo a contare le permutazioni delle cifre da 1 a 9 in modo che al terzo, al sesto e al nono posto ci sia una cifra pari. In questo modo avremo le terne di numeri pari di tre cifre. Indicando con $p$ una cifra pari e con $d$ una cifra dispari, e osservando che il numero di $p$ è 4 e il numero di $d$ è 5, si ha

$$-\,-\,p\,-\,-\,p\,-\,-\,p\,.$$

Togliamo per un attimo le tre $p$ : restano 6 buchi in cui disporre 5 $d$ (scelte tra 5) e una $p$ (scelta tra 4); per fare questo ci sono esattamente $5!\cdot 4! = 2880$ modi distinti. Combinando questi con i $3!=6$ modi di disporre le tre $p$ finali, si hanno in tutto $2880\cdot 6$ modi. Poiché però il testo dice che i tre numeri di tre cifre vanno presi ordinati (perché la Noblità avrà sempre quello più alto, il Clero quello in mezzo e il Terzo Stato quello più basso), tutti questi modi vanno quozientati con il numero di possibili riordinamenti di 3, che è di nuovo $3!=6$ , e dunque il numero totale è $2880\cdot 6 / 6= 2880$ . La risposta è quindi .