Disfida Matematica 2007

Soluzione del problema 20

20.

Per soli abbonati     Chiamiamo $a$ e $b$ le distanze dell'oggetto $P$ dalle due sbarre, $x$ la distanza (incognita) dalla terza sbarra e $d$ la distanza dal centro del tornello (vedi figura).

Sia $\alpha$ l'angolo al centro sotteso da $a$ e $\beta$ quello sotteso da $b$ , per cui $\alpha + \beta=60^\circ$ . Dalle proprietà dei triangoli rettangoli si ha

$$a=d\sin\alpha=d\sin(\beta-60^\circ)\,,\quad b= d\sin\beta\,,\quad x=d\sin(\beta+ 60^\circ)\,.$$

Inoltre, per la formula di addizione del seno,

$$x=d\sin(\beta+ 60^\circ)=\frac 1 2 d\sin\beta+ \frac{\sqrt{3}}{2}d\cos\beta =\frac 1 2 b + \frac{\sqrt{3}}{2}d\cos\beta\,.$$

Non resta che trovare $d\cos\beta$ ; usando ancora la formula di addizione (o meglio, di sottrazione) del seno,

$$a=d\sin(\beta-60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}d\cos\beta-\frac 1 2 d\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}d\cos\beta-\frac 1 2 b\,,$$

da cui

$$\frac{\sqrt{3}}{2}d\cos\beta = a + \frac 1 2 b\,.$$

Sostituendo nella formula per $x$ si ottiene

$$x = \frac 1 2 b + \frac{\sqrt{3}}{2}d\cos\beta = \frac 1 2 b + a + \frac 1 2 b = a + b\,.$$

Essendo in questo caso $a=36$ e $b=42$ , si ha la risposta .