Disfida Matematica 2007

Soluzione del problema 21

21.

Il palio di Bananopolis.    (Questo me l'ha suggerito Maurizio.) Qui ci sta un'osservazione elementare ma molto bella: ad ogni triangolo da considerare corrispondono esattamente 3 ``vie sacre'', e dunque 6 porte. Viceversa, 6 porte distinte individuano esattamente un triangolo interno (vedi figura). Quindi il numero di tracciati su cui è possibile correre un palio, ovvero il numero di triangoli, è uguale ai modi di scegliere 6 porte distinte. Tale numero, visto che le porte sono 13, è dato dal coefficiente binomiale $\binom{13}{6}$ , che vale

$$\binom{13}{6}=\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}= 13\cdot 11 \cdot 3 \cdot 4= 1716$$

quindi la risposta è .