Disfida Matematica 2007

Soluzione del problema 22

22.

La serra.    Chiamiamo $\ell$ il lato del quadrato di base. Conviene tagliare il solido con due piani verticali passanti per i lati della base quadrata che stanno anche sulle facce triangolari. In questo modo si ottiene un prisma a base triangolare e due tetraedri uguali. Il triangolo (tratteggiato in figura) base del prisma e dei tetraedri è un triangolo isoscele di base $\ell$ e lato l'altezza del trapezio. Poiché il trapezio ha i lati obliqui lunghi quanto la base minore, cioè sempre $\ell$ , e la base maggiore è $2\ell$ , si ha che $HD=\ell/2$ e il triangolo $BHD$ è emiequilatero, dunque $BH=\ell\sqrt{3}/2$ . Quindi l'altezza relativa a $BE$ del triangolo $BHE$ vale, dal teorema di Pitagora,

$$\ell\sqrt{\frac 3 4 - \frac 1 4}=\ell\frac{\sqrt{2}}{2}\,.$$

La superficie di $BHE$ risulta dunque $\ell^2\sqrt{2}/4$ , e conseguentemente il volume del prisma centrale viene $\ell^3\sqrt{2}/4$ . Il tetraedro $BHDE$ è retto con altezza $HD=\ell/2$ , dunque ha volume

$$\frac 1 3 \cdot\ell^2\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\ell}{2} = \ell^3\frac{\sqrt{2}}{24}\,.$$

Poiché i tetraedri sono due, il volume totale viene

$$\ell^3\frac{\sqrt{2}}{4} + 2\cdot\ell^3\frac{\sqrt{2}}{24} = \ell^3\frac{\sqrt{2}}{3}\,.$$

Sostutendo $\ell=\sqrt{450\text{m}^2}$ risulta

$$\ell^3\frac{\sqrt{2}}{3} = 450\cdot\frac{\sqrt{900}}{3}$$m$$^3 = 4500$$m$$^3\,,$$

quindi la risposta è .