Brescia, 26 novembre 2005

Allenamenti di matematica: problemi

1. Siano $a_1, a_2, a_3, a_4$ quattro numeri interi distinti e sia $P(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che
   

   $$P(a_1)=P(a_2)=P(a_3)=P(a_4)=1.$$ (1)

   
   

   (i)

   Dimostrare che non esiste nessun numero intero $n$ tale che $P(n)=12$.

   (ii)

   Esistono un polinomio $P(x)$ che soddisfa la condizione 1 ed un intero $n$ tale che $P(n)=1998$?

2. Per quali valori di $\lambda$ l'equazione $\vert\vert x\vert-1\vert=\lambda$ ha esattamente tre soluzioni?

   (a)

   Per ogni $\lambda>0$

   (b)

   solo per $\lambda=0$

   (c)

   per ogni $\lambda$ tale che $0\leq\lambda\leq1$

   (d)

   solo per $\lambda=1$

   (e)

   per nessun valore di $\lambda$.

3. Il polinomio $ax^2+bx+c$ assume valori interi per ogni valore intero della variabile $x$. Quale delle seguenti affermazioni non può essere dedotta?

   (a)

   $c$ è intero

   (b)

   $a+b+c$ è intero

   (c)

   $a,b,c$ sono interi

   (d)

   se $a$ è intero, anche $b$ è intero

   (e)

   $2a$ è intero.

4. Dire quante soluzioni reali ha l'equazione $2^{x^2-3x+\sqrt{5}}=1$.

   (a)

   Nessuna

   (b)

   1

   (c)

   2

   (d)

   4

   (e)

   infinite.

5. Si determinino i valori del parametro $k$ per cui l'equazione $x^3-x+k=0$ ha tre radici intere.

6. In una elezione con $25$ votanti tre candidati si spartiscono i voti (tutti validi) in modo che nessun candidato ottenga la maggioranza assoluta. Quanti sono gli esiti possibili della votazione?

7. $a,b,c$ sono tre numeri reali positivi tali che $a+b+c=1$. Quale delle seguenti condizioni è equivalente a imporre che $a,b,c$ siano le misure dei lati di un triangolo non degenere?

   (a)

   $0<\vert b-a\vert<\frac{1}{2},\ 0<\vert c-b\vert<\frac{1}{2},\ 0<\vert c-a\vert<\frac{1}{2}$

   (b)

   $a<\frac{1}{2},\ b<\frac{1}{2},\ c<{1}{2}$

   (c)

   $a+b<\frac{1}{2},\ b+c<\frac{1}{2},\ c+a<\frac{1}{2}$

   (d)

   $a\geq\frac{1}{3},\ b\geq\frac{1}{3},\ c\geq\frac{1}{3}$

   (e)

   nessuna delle precedenti.

8. Sia $f$ una funzione definita nell'insieme degli interi positivi a valori interi positivi. Diciamo che:
   • $f$ è crescente se $n<m$ implica $f(n)<f(m)$
   • $f$ è moltiplicativa se $MCD(m,n)=1$ implica $f(mn)=f(m)\cdot f(n)$
   • $f$ è completamente moltiplicativa se $f(mn)=f(m)\cdot f(n)$ per ogni $m,n$.

   (i)

   Si dimostri che se $f$ è crescente allora $f(n)\geq n$ per ogni $n$.

   (ii)

   Si dimostri che se $f$ è crescente, completamente moltiplicativa e $f(2)=2$ allora $f(n)=n$ per ogni $n$.

   (iii)

   L'affermazione $(ii)$ resta vera se si elimina l'avverbio ``completamente''?

9. Numeri grandi

   Determinare la cifra delle unità del numero

   
   

   $$2^{(2^1)}+2^{(2^2)}+2^{(2^3)}+2^{(2^4)}+\ldots+2^{(2^{1999})}$$
   
   
   (A) 0         (B) 2         (C) 4         (D) 6         (E) 8.

10. L'andamento delle iscrizioni

    Da un'antica cronaca dell'università di Parma:

    "Due anni fa il numero degli iscritti era un quadrato perfetto. L'anno scorso, il numero degli iscritti è cresciuto di 100 unità, diventando un quadrato perfetto aumentato di 1. Quest'anno è cresciuto ancora di 100 unità, diventando nuovamente un quadrato perfetto."

    Determinare il numero degli studenti iscritti nell'anno a cui risale la cronaca.

11. Numeri monotòni

    Chiamiamo numeri monotòni gli interi positivi tali che:

    -si scrivano usando almeno due cifre;

    -nessuna cifra sia zero;

    -le cifre compaiano in ordine strettamente crescente o strettamente decrescente.

    (Ad esempio, 127 e 9742 sono numeri monotòni, mentre 172, 1224 e 7320 non lo sono.)

    1. Calcolare la somma di tutti i numeri monotòni di cinque cifre.
    2. Determinare con quanti zeri termina il minimo comune multiplo di tutti i numeri monotòni (senza vincoli sul numero di cifre).

12. Solo soletto

    Per quali interi $a$, $b$ il numero $2^{2^a-b^2}+1997$ risulta intero e primo?

13. Secondo le regole

    Si determinino tutte le terne di interi $(x, y, z)$ con $x, y, z \geq 2$ che verificano le condizioni:
    

    $$\left\{ \begin{array}{l} \textrm{$x$\ divide $yz-1$}\\ \te... ...de $zx-1$}\\ \textrm{$z$\ divide $xy-1$.} \end{array}\right.$$
    
    

14. Anni quadrati

    Determinare se

    (a) $2005^{2004}$ è somma di due quadrati perfetti positivi.

    (b) $2004^{2005}$ è somma di due quadrati perfetti positivi.

15. Pari e dispari

    Quanti sono gli interi compresi tra 1 e 2005 inclusi che hanno un numero dispari di cifre pari?

16. Queste stampanti!

    Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione dell'ente sarà un numero di euro pari a 34!, cioè il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34. Un socio esegue il calcolo con l'auito di un computer ed ottiene il seguente stampato

    $34!=295232799**\:96041408476186096435**\:000000$

    Purtroppo, come si può vedere, la stampante ha sostituito 4 delle cifre con degli asterischi. Determinare le cifre mancanti.

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